Re: Вопросы субъективной оценки качества звука, а также вопросы естествознания и т.д.
Хорошие рассуждения пошли по теме аудио.Читать - одно удовольствие, всем респект!
Неверно, количество точек в обеих отрезках одинаковое. Мы доказали это абсолютно строго, установив взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В. Это соотношение: каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент множества В. И наоборот. Это однозначно доказывает, что число элементов множества А равно числу элементов множества В. Доказательство приведено геометрическое, а легко привести и другое доказательство, с использованием функции (функциональное), устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между этими двумя отрезками числовой оси.Сообщение от gross
Вот именно в этом и суть. Суть в том, что нам в данном примере приходится иметь дело с бесконечностью. Ваш здравый смысл говорит нам о том, что во втором отрезке точек в 2 раза больше. Но здравый смысл при любом соприкосновении с бесконечностью - легко введет в заблуждение. Я постараюсь пояснить это еще и далее.
Мощность множества – это просто математический термин, грубо говоря это - количество элементов множества. Почему грубо? Потому что не для всякого множества можно указать количество его элементов. Количество можно указать только для множества с конечным числом элементов. При переходе к множествам с бесконечным числом элементов термин «количество» теряет смысл. Множества, в которых мы можем пересчитать все элементы один за другим (хотя бы нам для этого и понадобилось бесконечное время) называются счетными. Мощность каждого иЗ таких множеств равна мощности множества, состоящего из натуральных чисел {1,2,3,4,…}. Но в интервале от 0 до 1 на числовой оси содержится гораздо больше, чем счетное число элементов. Пересчитать (за бесконечное время) можно только те числа от 0 до 1, которые могут быть представлены дробью х\у, где х и у – натуральные числа, для интервала (0,1) в данном случае х<y. Это так называемые рациональные числа. Мощность множества рациональных чисел равна мощности множества натуральных чисел {1,2,3,4,…}. Однако, помимо рациональных, в интервале (0,1) содержится большая хуча иррациональных чисел – которые уже не поддаются тому, чтобы их можно было записать в виде х\у. Вот их количество – неисчислимо, это уже континуум.
Рассмотрим заданную на интервале (0,1) функцию у=1\х. Легко видеть, что эта функция переводит интервал (0,1) в числовую полуось (1,+∞). Каждому элементу множества чисел (0,1) соответствует один и только один элемент множества чисел (1,+∞), и наоборот. Функция 1\х устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами (0,1) и (1,+∞), и потому можно с уверенностью утверждать, что их мощности равны. Это еще не противоречит здравому смыслу, как по-вашему?Вообще-то немного удивительно – количество точек, заключенных на ограниченном интервале числовой оси РАВНО количеству точек на неограниченном, простирающемся в бесконечность интервале (1,+∞). Ведь интервал (0,1) явно меньше, чем полуось (1,+∞). Не так ли?
Но это еще не все. Теперь я возьму и добавлю к множеству чисел интервала (0,1) один элемент – ну скажем его правую границу, точку 1. Был интервал (0,1), а стал полуинтервал (0,1]. Вопрос: ну что, я увеличил количество элементов множества А=(0,1) на один элемент. Их очевидно стало больше на одну штуку. В множестве А*=(0,1] элементов больше, чем в А=(0,1) на один элемент? Количество элементов множества увеличилось на одну штуку, верно?
На самом деле «количество чисел», лежащих внутри интервала (0,1) равно «количеству чисел» всей числовой оси (-∞, +∞), а также «количеству чисел», или «количеству точек» на плоскости, а также «количеству точек» в трехмерном пространстве, а также в любом n-мерном пространстве, а также в любой счетной последовательности конечномерных пространств.
Astronavt,
Aquarius, здорово! Лишний раз понимаешь, насколько все в мире взаимосвязано. Бесконечное в большом и малом – можно сказать за это я лублу жизнь
Социальные закладки