Линейно ли квантование?

[zoog]

Сразу скажу, речь о https://en.wikipedia.org/wiki/Linearity , а не о u/a-law. Все кого ни спрашивал, уверены в прямом, но в теореме отсчётов об этом не говорится, да вообще не встречались работы на эту тему. Кто что знает? И квантование здесь - по времени, а есть ещё и по уровню..

[straus]

Теорема отсчётов касается только дискретизации во времени. Про квантование по уровню она ни сном ни духом.
Работ, исследующих взаимовлияние дискретизации и квантования действительно нет (по крайней мере за всё время не встречалось).

[zoog]

Про квантование по уровню она ни сном ни духом.

квантование здесь - по времени, а есть ещё и по уровню..

Offтопик:
Но спасибо за Ваш ответ. Я как-то высказал идею, что 0,1% погрешности при квантовании могут привести не только больше, но и принципиально нарушить условие "дискретизируемости". Обоснований, конечно, не было (кроме отутствия доказательств обратного), так что меня подняли на смех.

[Ka4aN]

Эмм, не придираясь к словам и формулировкам, квантование по времени строго математически линейно, при соблюдении условий Шеннона-Найквиста-Котельникова.
При нарушении условий теоремы абсолютно нелинейно.
При несоблюдении временного интервала дискретизации также нелинейно.
При квантовании по уровню дискретными величинами также нелинейно.
А в чем собсвенно смысл вопроса?

[zoog]

Эмм, не придираясь к словам и формулировкам

А придётся) иначе не различишь некоторые нюансы.

квантование по времени строго математически линейно

Линейно по амплитуде при идеальном квантовании по времени? (Т.е. ошибки квантования по амплитуде не вносят доп. ошибок?)

При несоблюдении временного интервала дискретизации также нелинейно

То есть при неидеальном квантовании по времени (джиттер) результирующая ошибка будет непропорциональна расчётным искажениям от джиттера?

А в чем собсвенно смысл вопроса?

Обычно искажения при АЦ/ЦА преобразовании оценивают как ошибки квантования; я пытаюсь выяснить корректность этого допущения. Строго говоря, джиттер или амплитудная ошибка, не предусмотренные т. отсчётов, могут отменить её применимость.

[Ka4aN]

Линейно по амплитуде при идеальном квантовании по времени?

И еще идеальном по амплитуде, и еще при строгом соблюдении требований вышеозвученной теоремы.
Абсолютно. Линейно. До последнего знака после запятой.

А придётся) иначе не различишь

Я имел ввиду лексику и стилистику, и немного синтаксис. Не люблю придираться к таким мелочам.

Обычно искажения при АЦ/ЦА преобразовании оценивают как ошибки квантования; я пытаюсь выяснить корректность этого допущения. Строго говоря, джиттер или амплитудная ошибка, не предусмотренные т. отсчётов, могут отменить её применимость.

Обычно ошибки, любые, уже нарушают требования линейности. Поэтому, применять термин "линейно" некорректно. Корректно применять термин "насколько нелинейно".

[Alex]

но в теореме отсчётов об этом не говорится,

Так ей вертиальная ось побоку, ее только горизонтальная интереесует (ось времени).

[straus]

Offтопик:
Но спасибо за Ваш ответ. Я как-то высказал идею, что 0,1% погрешности при квантовании могут привести не только больше, но и принципиально нарушить условие "дискретизируемости".

Там теоретически нарушается фильтрация (одно из необходимых условий теоремы отсчётов) - изменяется наклон графика на величину погрешности квантования.
Но как это влияет на результат - никто не исследовал. Мы знаем, что просто аналоговый сигнал, нарезанный по времени (по теореме отсчётов), после восстановления на выходном фильтре тождественен исходному. Также мы знаем, что если просто пропустить аналоговый сигнал через соединённые последовательно НЕТАКТИРУЕМЫЕ (то есть нарезаем только по амплитуде) параллельные АЦП-ЦАП, то результатом будут нелинейные искажения на величину МЗР системы АЦП-ЦАП. А вот если нарезать и по времени и по амплитуде (как и делается во всей звуковой аппаратуре), то результат может отличаться от простого квантования по амплитуде, а может и нет. Этот вопрос за долгие годы не поднимался, и данных нет. Это не доказано и не опровергнуто. Вот так и живём.

[Teoretic]

то результат может отличаться от простого квантования по амплитуде, а может и нет. Этот вопрос за долгие годы не поднимался, и данных нет

По-моему, здесь идет речь о шуме квантования?

[Игорь Гапонов]

Сразу скажу, речь о https://en.wikipedia.org/wiki/Linearity , а не о u/a-law. Все кого ни спрашивал, уверены в прямом, но в теореме отсчётов об этом не говорится, да вообще не встречались работы на эту тему. Кто что знает? И квантование здесь - по времени, а есть ещё и по уровню..

Т. Котельникова-Найквиста-Шеннона есть частный случай ОРТОГОНАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ функции в РЯД по заданному ОРТОГОНАЛЬНОМУ БАЗИСУ с абсолютно чёткими (мат. строгими) условиями существования такого разложения. То, что большими буквами является "как действие" в общем математическом смысле линейным оператором.

По сабжу: операция "эквидистантная(через равные интервалы) дискретизация (замена значения функции на интервале константой, в данном случае нулём) непрерывного аргумента (в данном случае - времени) спектрально финитной (с ограниченным сверху спектром энергии, кстати, снизу - не важно как) функции" линейна. Всё остальное - ошибки/искажения такой дискретизации, как нелинейные (например, детерминированная девиация интервала дискретизации - "биения" Fd приводят к детерминированной нелинейной ошибке), так и случайные (например, случайная девиация интервала дискретизации - "джиттер" Fd приводит к случайной нелинейной ошибке) и линейные (например, конечная детерминированная длительность выборки - приводит к отличию сквозной ЧХ (АФЧХ) от "горизонта").

Замечу, что существуют виды таки линейной, но неэквидистантной во времени дискретизации (впервые найдены Агеевым https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90...B2%D0%B8%D1%87 в пятидесятых годах пр. века).

P.S. Для обратимости такого преобразования "Н-К-Ш" существуют дополнительные к спектральному ограничения: с "непрерывной стороны" - ограниченность функции по амплитуде, с "дискретной стороны" - сходимость "ряда Шеннона-Виттекера". Последнее ограничение в своё время позволило найти "ошибку Котельникова" в первоначальной формулировке - исключить Fd/2 из спектра сигнала (как минимум из-за расходимости гармонического ряда = 1+1/2+1/3+...)

[zoog]

И еще идеальном по амплитуде, и еще при строгом соблюдении требований вышеозвученной теоремы.
Абсолютно. Линейно. До последнего знака после запятой.

Воот, а интересует как раз случай с ошибками как во времени, так и по амплитуде.

Обычно ошибки, любые, уже нарушают требования линейности.

Вы не поняли/я плохо объяснил. В линейной системе ошибка в 0,1% приведёт к такой же ошибке на выходе, а в нелинейной - нет. В данном случае имеется в виду джиттер и ошибки АЦП.

---------- Сообщение добавлено 07:52 ---------- Предыдущее сообщение было 07:46 ----------

Так ей вертиальная ось побоку, ее только горизонтальная интереесует (ось времени).

То есть она не ожидает западла ни с одной из сторон (измерений, координат). И верна только в идеале, а в реале ошибки могут.. что? Хочу прояснить.
Инженеры говорят: аа, джиттер дал нам 100пс, интерполируем их и получим ошибку в 0,05% - и это мера линейности системы, но в математике инженерный, базарный расчёт не действует, даже в линейных уравнениях можно представить себе случай деления на близкое к 0 число, при котором ошибка в 0,1% приведёт к намного большей.

---------- Сообщение добавлено 07:54 ---------- Предыдущее сообщение было 07:52 ----------

Там теоретически нарушается фильтрация

Нелинейности по осям х и у нарушают фильтрацию? не понял.

---------- Сообщение добавлено 08:02 ---------- Предыдущее сообщение было 07:54 ----------

То, что большими буквами является "как действие" в общем математическом смысле линейным оператором.

Никто не сомневается, что при идеальном преобразовании система линейна по отношению ко входному сигналу - но линейна ли она к нелинейностям (неравномерностям) взятия самих выборок? Поэтому я и не хотел затрагивать пока квантование по амплитуде - и так запутанно всё.

линейна

операция "эквидистантная функции" линейна.

По отношению к аргументу. А если идеальная эквидистантность не выплняется?

Offтопик:

преобразования "Н-К-Ш"

Найквист-Котельник-Шеннон, как А-Ц-А?))

Offтопик:

Последнее ограничение в своё время позволило найти "ошибку Котельникова" в первоначальной формулировке - исключить Fd/2 из спектра сигнала (как минимум из-за расходимости гармонического ряда = 1+1/2+1/3+...)

Хехе, я в своё время вешал преподавателей/сокурсников примером оцифровки Fs/2, у буржуев корректнее была формулировка. Ну, как вешал. Большинство не понимали, в чём проблема или теряли интерес, поняв) Так и здесь бывает.

[Игорь Гапонов]

Воот, а интересует как раз случай с ошибками как во времени, так и по амплитуде.

Инженеры говорят: аа, джиттер дал нам 100пс, интерполируем их и получим ошибку в 0,05% - и это мера линейности системы, но в математике инженерный, базарный расчёт не действует, даже в линейных уравнениях можно представить себе случай деления на близкое к 0 число, при котором ошибка в 0,1% приведёт к намного большей.

1. Их, ошибки дискретизации (то, что по Вашей ссылке на вику) и квантования (по шкале АЦ/ЦА) , можно в первом приближении рассматривать отдельно. Хотя взаимо действие таки имеется (например, срабатывание компаратора в АЦ зависит от скорости изменения входного уровня, "утечка" через аналоговый ключ приводит к погрешности выборки и т.д).

2. Ошибка от джиттера зависит от энергии сигнала (суть нелинейности). И "общей формулы НИ" в общем случае нет. Главное, понимать, что амплитудная и спектральная ошибки от одной причины - две большие разницы. Первая - "главная" (как критерий проектирования) в мультибитах", вторая - в дельтасигмах.

3. Я, пожалуй, ответил на ВСЕ Ваши вопросы по "неидеальности" именно дискретизации в первом сообщении.

4. Н-К-Ш - преобразование (теорема) Найквиста-Котельникова-Шеннона.

[zoog]

можно в первом приближении рассматривать отдельно

Да, не мона, а нуна.

Хотя взаимо действие таки имеется (например, срабатывание компаратора в АЦ зависит от скорости изменения входного уровня, "утечка" через аналоговый ключ приводит к погрешности выборки и т.д)

А вот этого не надо - сводить всё к амплитудной ошибке. Давайте амплитудное квантование считать идеальным, бесконечная глубина бит.

[Игорь Гапонов]

Да, не мона, а нуна.

А вот этого не надо - сводить всё к амплитудной ошибке. Давайте амплитудное квантование считать идеальным, бесконечная глубина бит.

1. Таки "можно".
2. Наиболее известное ВЗАИМО влияние - "кодозависимый джиттер". Не менее часто, но мало "рассматривается" - кодозависимое внутреннее ЦАПа (нелинейность буферов "на входе") и кодозависимые токопотребления АЦ/ЦА (широкополосность опорников).

"амплитудная ошибка" - ошибка по МГНОВЕННОЙ амплитуде не важно по какой причине, "спектральная" - ошибка в передаче спектра, тоже не важно по какой причине. Они связаны однозначно через обратимое ПФ. Но "на картинках" могут выглядеть совершенно неожиданно

[zoog]

3. Я, пожалуй, ответил на ВСЕ Ваши вопросы по "неидеальности" дискретизации.

И я за это благодарен, но получается - мой вопрос - это как "есть ли жизнь на Марсе"?

---------- Сообщение добавлено 08:27 ---------- Предыдущее сообщение было 08:25 ----------

Наиболее известное ВЗАИМО влияние - "кодозависимый джиттер".

Это уже особенности конкретной реализации, не имеющие отношения к теории. Частный, сложный для теоретической оценки, сучай. А говорю об "обычных" искажениях равномерности сэмплирования.

[Игорь Гапонов]

Думаю, со своей стороны я ответил на гораздо большее, чем Вы спрашивали .

[E.Sokol]

Шумы квантования называют называют шумом именно по причине их нелинейности. Будь они линейны, их можно было бы компенсировать - восстановить исходный сигнал, зная параметры квантования, однако это невозможно ни в теории, ни на практике.

[Игорь Гапонов]

Это уже особенности конкретной реализации, не имеющие отношения к теории. Частный, сложный для теоретической оценки, сучай. А говорю об "обычных" искажениях равномерности сэмплирования.

Исчерпывающий ответ в первом сообщении (как пример того, что "в моём первом сообщении" больше, чем Вы спрашивали или спросите в будущем ) . Как вычислять ошибку от какого-то определённого вида искажения дискретизации - это совершенно другой вопрос!

[zoog]

Думаю, со своей стороны я ответил на гораздо большее, чем Вы спрашивали

Тогда не буду впредь досаждать Вам вопросами.

[E.Sokol]

Вот одна и та же синусоида, квантованная 4 битами, но со сдвигом фазы:


Выглядят вроде одинаково. Однако же если взглянуть на их спектр:


то очевидно, что они отличаются. На сложном сигнале разница будет ещё более существенна.